Фрактал гэж юу вэ: математикийн гоо үзэсгэлэн ба хязгааргүй байдал

2024 Зохиолч: Seth Attwood | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-16 16:12

Фракталууд нь зуун жилийн туршид мэдэгдэж байсан бөгөөд сайн судлагдсан бөгөөд амьдралд олон тооны хэрэглээтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч энэ үзэгдэл нь маш энгийн санаан дээр суурилдаг: гоо үзэсгэлэн, олон янз байдал нь хязгааргүй олон тооны хэлбэрийг харьцангуй энгийн бүтцээс хуулбарлах, масштаблах гэсэн хоёр үйлдлийг ашиглан олж авч болно.

Бидний гарт байгаа мод, далайн эрэг, үүл эсвэл цусны судаснууд юугаараа ижил төстэй вэ? Эхлээд харахад эдгээр бүх объектуудад нийтлэг зүйл байхгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч үнэн хэрэгтээ жагсаасан бүх объектод хамаарах бүтцийн нэг шинж чанар байдаг: тэдгээр нь хоорондоо төстэй байдаг. Салбараас, мөн модны их биенээс жижиг мөчрүүд байдаг, тэдгээрээс бүр жижиг мөчрүүд гэх мэт, өөрөөр хэлбэл мөчир нь бүхэл бүтэн мод шиг байдаг.

Цусны эргэлтийн системийг ижил төстэй байдлаар зохион байгуулдаг: артериолууд артерийн судаснуудаас гардаг бөгөөд тэдгээрээс хүчилтөрөгч нь эрхтэн, эд эсэд ордог хамгийн жижиг хялгасан судаснууд юм. Далайн эргийн хиймэл дагуулын зургийг харцгаая: бид булан, хойгуудыг харах болно; үүнийг харцгаая, гэхдээ шувууны нүднээс: бид булан, хошууг харах болно; Одоо бид далайн эрэг дээр зогсоод хөл рүүгээ харж байна гэж төсөөлөөд үз дээ: бусад хэсгээс илүү ус руу цухуйсан хайрга үргэлж байдаг.

Өөрөөр хэлбэл, томруулж үзэхэд далайн эргийн шугам өөртэйгөө адилхан хэвээр байна. Америкийн (Францад өссөн ч) математикч Бенуа Мандельброт объектын энэ шинж чанарыг фрактал гэж нэрлэдэг бөгөөд ийм объектыг өөрөө фрактал гэж нэрлэдэг (Латин хэлнээс fractus - эвдэрсэн).

Фрактал гэж юу вэ?

Энэ үзэл баримтлалд хатуу тодорхойлолт байдаггүй. Тиймээс "фрактал" гэдэг үг нь математикийн нэр томъёо биш юм. Ерөнхийдөө фрактал нь дараах шинж чанаруудын нэг буюу хэд хэдэн шинж чанарыг хангасан геометрийн дүрс юм: • Энэ нь ямар ч томруулсан үед нарийн төвөгтэй бүтэцтэй байдаг (жишээлбэл, шулуун шугамаас ялгаатай нь аль ч хэсэг нь хамгийн энгийн геометрийн дүрс - a шугамын сегмент). • (ойролцоогоор) өөртэйгөө төстэй. • Топологийн хэмжээсээс их бутархай Хаусдорф (фрактал) хэмжээстэй. • Рекурсив процедурын тусламжтайгаар бүтээж болно.

Геометр ба Алгебр

19-20-р зууны эхэн үед фракталуудыг судлах нь системчилсэн гэхээсээ илүү үе шаттай байсан, учир нь өмнөх математикчид ерөнхий арга, онолыг ашиглан судалгаа хийх боломжтой "сайн" объектуудыг голчлон судалдаг байв. 1872 онд Германы математикч Карл Вейерштрасс хаана ч ялгах боломжгүй тасралтгүй функцийн жишээг бүтээжээ. Гэсэн хэдий ч түүний бүтээн байгуулалт нь бүхэлдээ хийсвэр байсан бөгөөд ойлгоход хэцүү байв.

Тиймээс 1904 онд Швед Хельге фон Кох хаана ч шүргэгчгүй, зурахад маш энгийн тасралтгүй муруйг зохион бүтээжээ. Энэ нь фрактал шинж чанартай болох нь тогтоогдсон. Энэ муруйн хувилбаруудын нэг нь "Кох цасан ширхгүүд" гэж нэрлэгддэг.

Дүрсүүдийн өөртэйгөө төстэй санааг Бенуа Манделбротын ирээдүйн зөвлөгч Франц Пол Пьер Леви гаргаж авсан. 1938 онд тэрээр "Бүхэл бүтэн ижил төстэй хэсгүүдээс бүрдэх хавтгай ба орон зайн муруй ба гадаргуу" нийтлэлээ хэвлүүлсэн бөгөөд энэ нь өөр нэг фрактал болох Леви С муруйг дүрсэлсэн байдаг. Дээрх бүх фракталуудыг болзолтойгоор конструктив (геометрийн) фракталуудын нэг ангилалд хамааруулж болно.

Өөр нэг анги бол динамик (алгебрийн) фракталууд бөгөөд үүнд Mandelbrot олонлог багтдаг. Энэ чиглэлийн анхны судалгаанууд 20-р зууны эхэн үеэс эхэлсэн бөгөөд Францын математикч Гастон Жулиа, Пьер Фату нарын нэрстэй холбоотой юм.1918 онд Жулиагийн нарийн төвөгтэй оновчтой функцүүдийн давталтуудад зориулагдсан бараг хоёр зуун хуудас дурсамж ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд үүнд Жулиагийн багцууд - Манделбротын багцтай нягт холбоотой фракталуудын бүхэл бүтэн гэр бүлийг дүрсэлсэн байв. Энэхүү бүтээл нь Францын Академийн шагналаар шагнагдсан боловч нэг ч дүрслэл агуулаагүй тул нээсэн объектын гоо үзэсгэлэнг үнэлэх боломжгүй байв.

Энэхүү бүтээл нь тухайн үеийн математикчдын дунд Жулиаг алдаршуулж байсан ч хурдан мартагдсан юм. Хагас зуун жилийн дараа л компьютерууд дахин олны анхаарлыг татсан: тэд л фракталуудын ертөнцийн баялаг, гоо үзэсгэлэнг харагдуулсан юм.

Фрактал хэмжээсүүд

Таны мэдэж байгаагаар геометрийн дүрсийн хэмжээс (хэмжилтийн тоо) нь энэ зураг дээр байрлах цэгийн байрлалыг тодорхойлоход шаардагдах координатын тоо юм.

Жишээлбэл, муруй дээрх цэгийн байрлалыг нэг координатаар, гадаргуу дээр (хавтгай байх албагүй) хоёр координатаар, гурван хэмжээст орон зайд гурван координатаар тодорхойлно.

Илүү ерөнхий математикийн үүднээс авч үзвэл хэмжээсийг ингэж тодорхойлж болно: нэг хэмжээст (топологийн үүднээс) объектын (сегмент) шугаман хэмжээсийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх нь хэмжээ нэмэгдэхэд хүргэдэг. (урт) хоёр удаа, хоёр хэмжээст (дөрвөлжин) шугаман хэмжээсийн ижил өсөлт нь хэмжээ (талбай) 4 дахин, гурван хэмжээст (шоо) - 8 дахин нэмэгдэхэд хүргэдэг. Өөрөөр хэлбэл, "бодит" (Хаусдорф гэж нэрлэгддэг) хэмжигдэхүүнийг объектын "хэмжээ" -ийн өсөлтийн логарифмыг шугаман хэмжээ нь нэмэгдэх логарифмын харьцаагаар тооцоолж болно. Энэ нь сегментийн хувьд D = log (2) / log (2) = 1, хавтгайд D = log (4) / log (2) = 2, эзлэхүүний хувьд D = log (8) / log (2)) = 3.

Одоо Кохын муруйн хэмжээсийг тооцоолъё, үүнийг бүтээхдээ нэгж сегментийг гурван тэнцүү хэсэгт хувааж, дундын интервалыг энэ сегментгүйгээр тэгш талт гурвалжингаар солино. Хамгийн бага сегментийн шугаман хэмжээсийг 3 дахин ихэсгэхэд Кох муруйн урт нь log (4) / log (3) ~ 1, 26-д нэмэгддэг. Өөрөөр хэлбэл, Кох муруйн хэмжээс нь бутархай байна!

Шинжлэх ухаан, урлаг

1982 онд Манделбротын "Байгалийн фрактал геометр" ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд энэ номонд зохиолч фракталуудын тухай тухайн үед байсан бараг бүх мэдээллийг цуглуулж, системчилж, хялбар бөгөөд хүртээмжтэй байдлаар танилцуулсан. Манделброт илтгэлдээ нүсэр томьёо, математикийн бүтцэд бус харин уншигчдын геометрийн зөн совин дээр гол анхаарлаа хандуулсан. Зохиогч монографийн шинжлэх ухааны бүрэлдэхүүн хэсгийг чадварлаг шингэлсэн компьютерийн зураг чимэглэл, түүхэн үлгэрийн ачаар ном бестселлер болж, фракталууд олон нийтэд танигдах болжээ.

Математикч бус хүмүүсийн дунд тэдний амжилт нь ахлах сургуулийн сурагчийн ойлгож чадах маш энгийн бүтэц, томъёоны тусламжтайгаар гайхалтай нарийн төвөгтэй байдал, гоо үзэсгэлэнгийн дүр төрхийг олж авдагтай холбоотой юм. Хувийн компьютер хангалттай хүчирхэг болоход урлагийн бүхэл бүтэн чиг хандлага гарч ирэв - фрактал зураг, бараг бүх компьютер эзэмшигч үүнийг хийж чадна. Одоо Интернет дээр та энэ сэдэвт зориулагдсан олон сайтыг хялбархан олох боломжтой.

Дайн ба энх

Дээр дурдсанчлан фрактал шинж чанартай байгалийн объектуудын нэг бол далайн эрэг юм. Нэг сонирхолтой түүх нь түүнтэй холбоотой, эс тэгвээс түүний уртыг хэмжих оролдлоготой холбоотой бөгөөд энэ нь Манделбротын шинжлэх ухааны нийтлэлийн үндэс болсон бөгөөд "Байгалийн фрактал геометр" номонд мөн дурдсан байдаг.

Энэ бол маш авъяаслаг, хазгай математикч, физикч, цаг уур судлаач Льюис Ричардсоны хийсэн туршилт юм. Түүний судалгааны нэг чиглэл нь хоёр улсын хооронд зэвсэгт мөргөлдөөн гарах шалтгаан, магадлалын математик тайлбарыг олох оролдлого байв. Түүний анхааралдаа авсан үзүүлэлтүүдийн нэг нь дайтаж буй хоёр улсын нийтлэг хилийн урт байв. Тэрээр тоон туршилт хийхдээ мэдээлэл цуглуулахдаа Испани, Португалийн хоорондох нийтлэг хилийн талаархи мэдээлэл өөр өөр эх сурвалжаас ялгаатай болохыг олж мэдэв.

Энэ нь түүнийг дараахь зүйлийг олж мэдэхэд түлхэц болсон: улс орны хилийн урт нь бидний хэмжиж буй захирагчаас хамаарна. Хэмжээ нь бага байх тусам хил нь урт болно. Энэ нь хэмжилтийн барзгар байдлаас болж өмнө нь үл тоомсорлож байсан эрэг орчмын гулзайлтыг илүү их хэмжээгээр нэмэгдүүлэх боломжтой болж байгаатай холбоотой юм. Хэрэв масштаб нэмэгдэх тусам шугамын урьд өмнө тооцоогүй гулзайлтын хэсгүүд нээгдэх юм бол хил хязгаарын урт нь хязгааргүй болох нь харагдаж байна! Үнэн бол бодит байдал дээр ийм зүйл тохиолддоггүй - бидний хэмжилтийн нарийвчлал нь хязгаарлагдмал хязгаартай байдаг. Энэ парадоксыг Ричардсон эффект гэж нэрлэдэг.

Конструктив (геометрийн) фракталууд

Ерөнхий тохиолдолд конструктив фрактал байгуулах алгоритм нь дараах байдалтай байна. Юуны өмнө бидэнд хоёр тохиромжтой геометрийн хэлбэр хэрэгтэй, тэдгээрийг суурь ба хэлтэрхий гэж нэрлэе. Эхний шатанд ирээдүйн фракталын үндсийг дүрсэлсэн болно. Дараа нь түүний зарим хэсгийг тохирох хэмжээгээр авсан фрагментээр сольсон - энэ бол барилгын анхны давталт юм. Дараа нь үүссэн дүрс нь зарим хэсгийг дахин фрагменттэй төстэй дүрс болгон өөрчилнө гэх мэт. Хэрэв бид энэ процессыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлбэл хязгаарт бид фракталыг авна.

Энэ процессыг жишээ болгон Кох муруйг ашиглан авч үзье. Кохын муруйн үндэс болгон та ямар ч муруйг авч болно ("Кох цасан ширхгийн" хувьд энэ нь гурвалжин юм). Гэхдээ бид өөрсдийгөө хамгийн энгийн тохиолдол болох сегментээр хязгаарлах болно. Фрагмент нь зургийн дээд талд харуулсан тасархай шугам юм. Алгоритмыг эхний давталт хийсний дараа энэ тохиолдолд эхний сегмент нь фрагменттэй давхцах бөгөөд дараа нь түүний бүрдүүлэгч сегмент бүр нь фрагменттэй төстэй тасархай шугамаар солигдох болно. Зурагт эхний дөрвөн алхамыг харуулав. энэ үйл явц.

Математикийн хэлээр: динамик (алгебрийн) фракталууд

Энэ төрлийн фракталууд нь шугаман бус динамик системийг судлахад үүсдэг (иймээс нэр нь). Ийм системийн үйл ажиллагааг нарийн төвөгтэй шугаман бус функцээр (олон гишүүн) f (z) тодорхойлж болно. Нарийн төвөгтэй хавтгай дээр z0 эхлэлийн цэгийг ав (хажуугийн мөрийг үзнэ үү). Одоо нийлмэл хавтгай дээрх ийм хязгааргүй тооны дарааллыг авч үзье, эдгээр нь өмнөх нэгээс дараах тоонуудыг олж авсан болно: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

Анхны z0 цэгээс хамааран ийм дараалал нь өөр өөр байж болно: n -> ∞ байдлаар хязгааргүйд хандах; ямар нэгэн төгсгөлийн цэг рүү нийлэх; хэд хэдэн тогтмол утгыг циклээр авах; илүү төвөгтэй сонголтууд бас боломжтой.

Нарийн төвөгтэй тоо

Нарийн төвөгтэй тоо нь бодит ба төсөөлөл гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэх тоо, өөрөөр хэлбэл албан ёсны нийлбэр x + iy (энд x ба y нь бодит тоонууд юм). би гэж нэрлэгддэг. төсөөллийн нэгж, өөрөөр хэлбэл i ^ 2 = -1 тэгшитгэлийг хангасан тоо. Математикийн үндсэн үйлдлүүд нь нарийн төвөгтэй тоогоор тодорхойлогддог - нэмэх, үржүүлэх, хуваах, хасах (зөвхөн харьцуулах үйлдлийг тодорхойлоогүй). Нарийн төвөгтэй тоонуудыг харуулахын тулд геометрийн дүрслэлийг ихэвчлэн ашигладаг - хавтгай дээр (үүнийг нарийн төвөгтэй гэж нэрлэдэг), бодит хэсгийг абсцисса дээр, төсөөлөл хэсгийг ординат дээр тавьдаг бол комплекс тоо нь декарттай цэгтэй тохирно. х ба у координатууд.

Иймээс нийлмэл хавтгайн аливаа z цэг нь f (z) функцийг давтах үед өөрийн гэсэн зан үйлийн шинж чанартай байдаг бөгөөд бүх хавтгай нь хэсгүүдэд хуваагддаг. Энэ тохиолдолд эдгээр хэсгүүдийн хил дээр байрлах цэгүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг: дур зоргоороо бага хэмжээний нүүлгэн шилжүүлэлтийн хувьд тэдний зан байдлын шинж чанар эрс өөрчлөгддөг (ийм цэгүүдийг салаалсан цэг гэж нэрлэдэг). Тиймээс, нэг төрлийн зан үйл бүхий цэгүүдийн багц, түүнчлэн салаалсан цэгүүдийн багц нь ихэвчлэн фрактал шинж чанартай байдаг. Эдгээр нь f (z) функцийн Жулиа олонлогууд юм.

Луугийн гэр бүл

Суурь болон фрагментийг өөрчилснөөр та гайхалтай олон төрлийн бүтэцтэй фракталуудыг авах боломжтой.

Түүнээс гадна ижил төстэй үйлдлүүдийг гурван хэмжээст орон зайд хийж болно. Эзлэхүүн фракталуудын жишээ бол Менгерийн хөвөн, Сиерпинскийн пирамид болон бусад.

Луугийн гэр бүлийг конструктив фрактал гэж бас нэрлэдэг. Заримдаа тэднийг "Хурдны зам-Хартерын луунууд" гэж нээсэн хүмүүсийн нэрээр нэрлэдэг (тэдгээрийнх нь дүр төрх нь Хятад луутай төстэй). Энэ муруйг зурах хэд хэдэн арга бий. Тэдгээрийн хамгийн энгийн бөгөөд ойлгомжтой зүйл бол: та хангалттай урт цаасан тууз авч (цаасан нимгэн байх тусмаа сайн), талыг нь нугалах хэрэгтэй. Дараа нь эхнийхтэй ижил чиглэлд дахин хоёр удаа нугална.

Хэд хэдэн давталтын дараа (ихэвчлэн тав, зургаан нугалаа хийсний дараа тууз нь хэтэрхий зузаан болж, цааш нугалж болохгүй) туузыг буцааж нугалж, нугалахад 90˚ өнцөг үүсгэхийг хичээх хэрэгтэй. Дараа нь луугийн муруй нь профайл дээр гарч ирнэ. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь фрактал объектуудыг дүрслэх бидний бүх оролдлоготой адил зөвхөн ойролцоогоор байх болно. Компьютер нь энэ үйл явцын олон алхмуудыг дүрслэх боломжийг олгодог бөгөөд үр дүн нь маш үзэсгэлэнтэй дүр төрх юм.

Mandelbrot багц нь арай өөр аргаар бүтээгдсэн. fc (z) = z ^ 2 + c функцийг авч үзье, энд c нь комплекс тоо юм. Энэ функцийн дарааллыг z0 = 0-тэй байгуулъя, c параметрээс хамааран энэ нь хязгааргүй хүртэл хуваагдах эсвэл хязгаарлагдмал хэвээр үлдэж болно. Цаашилбал, энэ дараалалд заасан бүх c утгууд нь Манделбротын олонлогийг бүрдүүлдэг. Үүнийг Манделброт өөрөө болон бусад математикчид нарийвчлан судалж, энэ багцын олон сонирхолтой шинж чанарыг олж илрүүлсэн.

Жулиа, Манделброт нарын багцын тодорхойлолтууд хоорондоо төстэй байгаа нь харагдаж байна. Үнэн хэрэгтээ энэ хоёр багц нь хоорондоо нягт холбоотой. Тухайлбал, Манделбротын багц нь Julia олонлог fc (z) холбогдсон c цогц параметрийн бүх утгууд юм (зарим нэмэлт нөхцлөөр хоёр салангид хэсэгт хуваагдах боломжгүй бол үүнийг холбогдсон гэж нэрлэдэг).

Фрактал ба амьдрал

Өнөөдөр фракталуудын онолыг хүний үйл ажиллагааны янз бүрийн салбарт өргөнөөр ашиглаж байна. Судалгааны цэвэр шинжлэх ухааны объект, аль хэдийн дурдсан фрактал зурагнаас гадна фракталуудыг мэдээллийн онолд график өгөгдлийг шахахад ашигладаг (энд фракталуудын ижил төстэй шинж чанарыг голчлон ашигладаг - эцэст нь жижиг фрагментийг санахын тулд ашигладаг. Үлдсэн хэсгийг нь авах боломжтой зураг, хувиргалт нь файлыг бүхэлд нь хадгалахаас хамаагүй бага санах ой шаарддаг).

Фракталыг тодорхойлсон томъёонд санамсаргүй цочролыг нэмснээр зарим бодит объектуудыг - рельефийн элементүүд, усны биетийн гадаргуу, зарим ургамлыг маш үнэмшилтэй дамжуулдаг стохастик фракталуудыг олж авах боломжтой бөгөөд үүнийг физик, газарзүй, компьютер графикт амжилттай ашигладаг. загварчилсан объектуудын бодиттой ижил төстэй байдал. Электроникийн хувьд фрактал хэлбэртэй антеннуудыг үйлдвэрлэдэг. Бага зай эзэлдэг тул тэд маш өндөр чанартай дохио хүлээн авдаг.

Эдийн засагчид валютын ханшийн муруйг тодорхойлохдоо фрактал ашигладаг (Манделбротын олж илрүүлсэн өмч). Үүгээр фракталуудын гайхалтай үзэсгэлэнтэй, олон янзын ертөнцөд хийсэн энэхүү бяцхан аялал өндөрлөж байна.