Манай ертөнцийн хавтгай, бөмбөрцөг эсвэл гипербол хэлбэр үү?

2024 Зохиолч: Seth Attwood | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-16 16:12

Бидний бодлоор орчлон ертөнц хязгааргүй юм. Өнөөдөр бид дэлхий бөмбөрцөг хэлбэртэй гэдгийг мэддэг ч Орчлон ертөнцийн хэлбэрийн талаар бараг боддоггүй. Геометрийн хувьд "танил" хязгааргүй орон зайн өөр хувилбар болох олон гурван хэмжээст дүрс байдаг. Зохиогчид ялгааг хамгийн хүртээмжтэй хэлбэрээр тайлбарладаг.

Шөнийн тэнгэрийг харахад сансар огторгуй бүх чиглэлд үүрд үргэлжлэх юм шиг санагддаг. Орчлон ертөнцийг бид ингэж төсөөлдөг боловч энэ нь үнэн гэдгийг биш. Эцсийн эцэст, хүн бүр дэлхийг хавтгай гэж боддог байсан үе бий: дэлхийн гадаргын муруйлт нь анзаарагдахгүй, дэлхий дугуй гэсэн санаа нь ойлгомжгүй мэт санагдаж байв.

Өнөөдөр бид дэлхий бөмбөрцөг хэлбэртэй гэдгийг мэддэг. Гэхдээ бид орчлон ертөнцийн хэлбэр дүрсийн талаар бараг боддоггүй. Бөмбөрцөг хавтгай дэлхийг орлох үед бусад гурван хэмжээст хэлбэрүүд нь "танил" хязгааргүй орон зайн өөр хувилбаруудыг санал болгодог.

Орчлон ертөнцийн хэлбэрийн талаар хоёр асуулт асууж болно - тусдаа боловч хоорондоо холбоотой асуултууд. Нэг нь геометрийн тухай - өнцөг болон талбайн нарийн тооцоолол юм. Өөр нэг нь топологийн тухай юм: салангид хэсгүүд хэрхэн нэг хэлбэрт нийлдэг.

Сансар судлалын өгөгдөл нь Орчлон ертөнцийн харагдах хэсэг нь гөлгөр, нэгэн төрлийн болохыг харуулж байна. Орон нутгийн орон зайн бүтэц нь бүх цэг, бүх чиглэлд бараг ижил харагддаг. Зөвхөн гурван геометрийн хэлбэр нь эдгээр шинж чанаруудтай нийцдэг - хавтгай, бөмбөрцөг, гипербол. Эдгээр хэлбэрийг ээлжлэн авч үзье, сансар судлалын мэдээлэлд үндэслэн зарим топологийн бодол, дүгнэлтийг авч үзье.

Хавтгай ертөнц

Үнэндээ энэ бол сургуулийн геометр юм. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр 180 градус, тойргийн талбай нь πr2 байна. Хавтгай гурван хэмжээст хэлбэрийн хамгийн энгийн жишээ бол ердийн хязгааргүй орон зай бөгөөд математикчид үүнийг Евклидийн гэж нэрлэдэг боловч бусад хавтгай сонголтууд байдаг.

Эдгээр дүрсийг төсөөлөхөд амаргүй ч бид гурав биш хоёр хэмжигдэхүүнээр сэтгэснээр зөн совингоо холбож чадна. Ердийн Евклидийн хавтгайгаас гадна бид онгоцны нэг хэсгийг хайчилж, ирмэгийг нь наах замаар бусад хавтгай хэлбэрийг бий болгож чадна. Тэгш өнцөгт цаас хайчилж, эсрэг талын ирмэгийг нь туузаар наа гэж бодъё. Хэрэв та дээд ирмэгийг доод ирмэг дээр наасан бол цилиндрийг авна.

Та мөн баруун ирмэгийг зүүн тийш нааж болно - дараа нь бид гурилан бүтээгдэхүүн авдаг (математикчид энэ хэлбэрийг торус гэж нэрлэдэг).

Та "Ямар нэгэн зүйл тийм ч хавтгай биш байна" гэж эсэргүүцэх байх. Мөн та зөв байх болно. Бид хавтгай торусыг бага зэрэг хуурч байсан. Үнэхээр ингэж цаасаар торус хийх гэж оролдвол зарим нэг хүндрэлтэй тулгарах болно. Цилиндр хийхэд хялбар боловч төгсгөлийг нь нааж болохгүй: цаас нь торусны дотоод тойргийн дагуу үрчлэгдэх боловч гадна талын тойрогт хангалттай биш байх болно. Тиймээс та ямар нэгэн уян хатан материалыг авах хэрэгтэй. Гэхдээ суналт нь урт ба өнцгийг өөрчилдөг тул геометрийг бүхэлд нь өөрчилдөг.

Ердийн гурван хэмжээст орон зайн доторх хавтгай материалаас геометрийг гажуудуулахгүйгээр жинхэнэ гөлгөр физик торусыг бүтээх боломжгүй юм. Хавтгай торус дотор амьдрах ямар байдгийг хийсвэрээр таамаглахад л үлдлээ.

Та өөрийгөө орчлон ертөнц нь хавтгай торус бүхий хоёр хэмжээст амьтан гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ орчлон ертөнцийн хэлбэр нь хавтгай цаасан дээр суурилдаг тул бид бүх геометрийн баримтууд ижил хэвээр үлддэг - ядаж хязгаарлагдмал масштабаар: гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр 180 градус гэх мэт. Гэхдээ тайрах, наах замаар дэлхийн топологи өөрчлөгдөхөд амьдрал эрс өөрчлөгдөх болно.

Эхлэхийн тулд торус нь гогцоо болон эхлэлийн цэг рүү буцдаг шулуун шугамуудтай.

Гажуудсан торус дээр тэдгээр нь муруй мэт харагддаг боловч хавтгай торусын оршин суугчдад шулуун мэт санагддаг. Мөн гэрэл нь шулуун шугамаар дамждаг тул та аль ч зүг рүү шууд харвал араас нь өөрийгөө харах болно.

Жинхэнэ цаасан дээр гэрэл таны дундуур өнгөрч, зүүн зах руу нь орж, дараа нь видео тоглоом шиг баруун талд дахин гарч ирэх шиг болно.

Энэ талаар бодох өөр нэг арга байна: та (эсвэл гэрлийн туяа) дөрвөн ирмэгийн аль нэгийг гаталж, шинэ өрөөнд өөрийгөө олж хардаг, гэхдээ үнэн хэрэгтээ энэ нь нэг өрөө, зөвхөн өөр өнцгөөс хардаг. Ийм орчлон ертөнцөөр тэнүүчилж байхдаа та анхны өрөөний эцэс төгсгөлгүй олон хуулбартай таарах болно.

Энэ нь та хаана ч харсан хязгааргүй тооны хуулбарыг авах болно гэсэн үг юм. Энэ бол нэг төрлийн толин тусгал, зөвхөн эдгээр хуулбарууд нь яг тусгал биш юм.

Торус дээр тэдгээр нь тус бүр нь нэг буюу өөр гогцоотой таарч, түүний дагуу гэрэл танд буцаж ирдэг.

Үүнтэй адилаар бид шоо эсвэл бусад хайрцагны эсрэг талын нүүрийг нааж хавтгай гурван хэмжээст торусыг авдаг. Бид энэ орон зайг ердийн хязгааргүй орон зайн дотор дүрсэлж чадахгүй - энэ нь зүгээр л тохирохгүй - гэхдээ бид түүний доторх амьдралын талаар хийсвэрээр таамаглах боломжтой болно.

Хэрвээ хоёр хэмжээст торус дахь амьдрал нь ижил тэгш өнцөгт өрөөнүүдийн төгсгөлгүй хоёр хэмжээст массивтай адил бол гурван хэмжээст торус дахь амьдрал нь ижил шоо өрөөнүүдийн төгсгөлгүй гурван хэмжээст массивтай адил юм. Та ч бас өөрийн гэсэн хязгааргүй тооны хуулбарыг харах болно.

Гурван хэмжээст торус нь хязгаарлагдмал хавтгай ертөнцийн арван хувилбарын зөвхөн нэг нь юм. Мөн хязгааргүй хавтгай ертөнцүүд байдаг - жишээлбэл, хязгааргүй цилиндрийн гурван хэмжээст аналог. Эдгээр ертөнц бүр өөр өөрийн гэсэн "эргэцүүлэл" бүхий "инээдийн өрөө"-тэй байх болно.

Бидний орчлон ертөнц хавтгай хэлбэрүүдийн нэг байж болох уу?

Сансар огторгуйг харахад бид өөрсдийнхөө хязгааргүй тооны хуулбарыг олж хардаггүй. Гэсэн хэдий ч хавтгай хэлбэрийг арилгах нь тийм ч хялбар биш юм. Нэгдүгээрт, тэд бүгд Евклидийн орон зайтай ижил орон нутгийн геометртэй тул тэдгээрийг орон нутгийн хэмжилтээр ялгах боломжгүй болно.

Та өөрийнхөө хуулбарыг харсан гэж бодъё, энэ алс холын зураг нь зөвхөн таныг (эсвэл таны галактикийг бүхэлд нь) алс холын өнгөрсөнд хэрхэн харж байсныг харуулж байна, учир нь гэрэл танд хүрэх хүртэл маш их замыг туулсан. Магадгүй бид өөрсдийн хуулбарыг ч харж болох ч танигдахын аргагүй өөрчлөгдсөн. Түүгээр ч барахгүй өөр өөр хуулбарууд чамаас өөр зайд байдаг тул тэдгээр нь адилхан биш юм. Түүнээс гадна, маш хол байгаа тул бид юу ч харахгүй.

Эдгээр бэрхшээлийг даван туулахын тулд одон орон судлаачид ихэвчлэн өөрсдийнхөө хуулбарыг эрэлхийлдэггүй, харин хамгийн алслагдсан үзэгдлийн давтагдах шинж чанаруудыг эрэлхийлдэг - сансрын бичил долгионы арын цацраг, энэ бол Их тэсрэлтийн үлдэгдэл юм. Практикт энэ нь халуун, хүйтэн цэгүүдийн тохирсон загвар бүхий хос дугуйнуудыг хайж олох гэсэн үг юм - тэдгээр нь ижил, зөвхөн өөр өөр талаасаа байдаг гэж үздэг.

Одон орон судлаачид яг ийм хайлтыг 2015 онд Планк сансрын дурангийн ачаар хийжээ. Хавтгай 3D торус эсвэл бусад хавтгай 3D хэлбэр буюу хавтан гэгдэх бидний харж буй давхцсан тойргийн төрлүүдийн талаархи мэдээллийг нэгтгэсэн боловч тэд юу ч олсонгүй. Энэ нь хэрэв бид торус дотор амьдардаг бол энэ нь маш том бөгөөд давтагдах хэсгүүд ажиглагдахуйц орчлон ертөнцийн гадна байрладаг гэсэн үг юм.

Бөмбөрцөг хэлбэр

Бид хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг маш сайн мэддэг - энэ бол бөмбөг, жүрж эсвэл дэлхийн гадаргуу юм. Харин манай орчлон ертөнц гурван хэмжээст бөмбөрцөг байвал яах вэ?

Гурван хэмжээст бөмбөрцөг зурах нь хэцүү боловч энгийн зүйрлэлээр тайлбарлахад хялбар байдаг. Хэрэв хоёр хэмжээст бөмбөрцөг нь ердийн гурван хэмжээст орон зайн аль нэг төв цэгээс тодорхой зайд байгаа бүх цэгүүдийн цуглуулга юм бол гурван хэмжээст бөмбөрцөг (эсвэл "гурван сфер") нь зарим цэгээс тодорхой зайд байгаа бүх цэгүүдийн цуглуулга юм. дөрвөн хэмжээст орон зай дахь төв цэг.

Трисфер доторх амьдрал хавтгай огторгуйн амьдралаас тэс өөр. Үүнийг төсөөлөхийн тулд өөрийгөө хоёр хэмжээст бөмбөрцөгт хоёр хэмжээст оршихуй гэж төсөөлөөд үз дээ. Хоёр хэмжээст бөмбөрцөг бол бүхэл бүтэн орчлон ертөнц тул та өөрийгөө хүрээлж буй гурван хэмжээст орон зайг харж чадахгүй бөгөөд түүнд нэвтэрч чадахгүй. Энэхүү бөмбөрцөг орчлонд гэрэл хамгийн богино замаар дамждаг: том тойрог хэлбэрээр. Гэхдээ эдгээр тойрог танд шууд санагдаж байна.

Одоо та хоёр хэмжээст найзтайгаа хойд туйлд зугаалж, зугаалж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хөдлөхөд эхлээд энэ нь таны харааны тойрогт аажмаар буурах болно - ердийн ертөнц шиг, гэхдээ бидний дассан шиг хурдан биш ч гэсэн. Учир нь таны харааны тойрог томрох тусам таны найз үүнийг бага багаар эзэлдэг.

Гэхдээ таны найз экваторыг гатлангуут хачирхалтай зүйл тохиолдох болно: тэр хэмжээ нь нэмэгдэж эхэлдэг ч үнэн хэрэгтээ тэр холдсоор байна. Учир нь таны харааны тойрогт тэдний эзлэх хувь нэмэгдэж байна.

Өмнөд туйлаас гурван метрийн зайд найз чинь чамаас гурван метрийн зайд зогсож байгаа мэт харагдах болно.

Өмнөд туйлд хүрснээр энэ нь таны харагдах тэнгэрийн хаяаг бүхэлд нь дүүргэх болно.

Өмнөд туйлд хэн ч байхгүй үед таны харааны давхрага бүр ч хачин байх болно - энэ бол та юм. Учир нь таны гаргаж буй гэрэл буцаж ирэх хүртэл бөмбөрцөг даяар тархах болно.

Энэ нь 3D ертөнц дэх амьдралд шууд нөлөөлдөг. Гурван бөмбөрцгийн цэг бүр эсрэг талтай бөгөөд хэрэв тэнд ямар нэгэн зүйл байвал бид үүнийг бүхэлд нь тэнгэрт харах болно. Хэрэв тэнд юу ч байхгүй бол бид өөрсдийгөө арын дэвсгэр дээр харах болно - бидний дүр төрхийг бөмбөлөг дээр байрлуулж, дотор нь эргүүлж, бүхэл бүтэн тэнгэрийн хаяанд хөөргөх мэт.

Хэдийгээр трисфер нь бөмбөрцөг геометрийн суурь загвар боловч энэ нь цорын ганц боломжтой орон зайгаас хол байна. Бид Евклидийн орон зайн хэсгүүдийг огтолж, нааж янз бүрийн хавтгай загваруудыг бүтээдэг шиг трисферийн тохиромжтой хэсгүүдийг нааж, бөмбөрцөг хэлбэртэй загваруудыг барьж чадна. Эдгээр наасан хэлбэр бүр нь торус шиг "инээх өрөөний" нөлөө үзүүлэх бөгөөд зөвхөн бөмбөрцөг хэлбэртэй өрөөнүүдийн тоо хязгаартай байх болно.

Хэрэв манай ертөнц бөмбөрцөг хэлбэртэй байвал яах вэ?

Бидний хамгийн нарциссист хүмүүс ч өөрсдийгөө шөнийн тэнгэрийн оронд арын дэвсгэр гэж үздэггүй. Гэхдээ хавтгай торустай адил бид ямар нэг зүйлийг олж харахгүй байна гэдэг нь огт байхгүй гэсэн үг биш юм. Бөмбөрцөг орчлон ертөнцийн хил хязгаар нь харагдахуйц ертөнцийн хязгаараас том байж болох бөгөөд дэвсгэр нь зүгээр л харагдахгүй байна.

Гэхдээ торусаас ялгаатай нь бөмбөрцөг орчлон ертөнцийг орон нутгийн хэмжилтийг ашиглан илрүүлж болно. Бөмбөрцөг хэлбэрүүд нь хязгааргүй Евклидийн орон зайгаас зөвхөн дэлхийн топологи төдийгүй жижиг геометрээр ялгаатай байдаг. Жишээлбэл, бөмбөрцөг геометрийн шулуун шугамууд нь том тойрог байдаг тул тэнд байгаа гурвалжингууд нь Евклидийн гурвалжнуудаас илүү "бүхлэг" бөгөөд өнцгийн нийлбэр нь 180 градусаас давсан байдаг.

Ер нь сансрын гурвалжныг хэмжих нь орчлон ертөнц хэр муруй байгааг шалгах гол арга юм. Сансар огторгуйн богино долгионы дэвсгэр дээрх халуун эсвэл хүйтэн цэг бүрийн хувьд гурвалжны гурван талыг бүрдүүлдэг диаметр ба дэлхийгээс хол зайг мэддэг. Бид шөнийн тэнгэр дэх толбо үүссэн өнцгийг хэмжиж болох бөгөөд энэ нь гурвалжны нэг өнцөг болно. Дараа нь бид хажуугийн урт ба өнцгийн нийлбэр нь хавтгай, бөмбөрцөг эсвэл гипербол геометртэй тохирч байгаа эсэхийг шалгаж болно (гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градусаас бага).

Эдгээр тооцооллын ихэнх нь муруйлтыг хэмжих бусад хэмжүүрүүдийн хамт орчлон ертөнц бүрэн хавтгай эсвэл түүнд маш ойрхон байдаг гэж үздэг. Саяхан нэг судалгааны баг 2018 оны Планк дурангаас авсан мэдээллүүдийн зарим нь бөмбөрцөг орчлон ертөнцийн талаар илүүтэй ярьж байна гэж санал болгосон ч бусад судлаачид танилцуулсан нотлох баримтыг статистикийн алдаатай холбоотой гэж үзэж байна.

Гипербол геометр

Өөрөө хаагддаг бөмбөрцөгөөс ялгаатай нь гипербол геометр эсвэл сөрөг муруйлттай орон зай гадагшаа нээгддэг. Энэ бол өргөн хүрээтэй малгай, шүрэн хад, эмээлийн геометр юм. Гипербол геометрийн үндсэн загвар нь хавтгай Евклидийн нэгэн адил хязгааргүй орон зай юм. Гэхдээ гипербол хэлбэр нь хавтгай хэлбэрээс хамаагүй хурдан гадагшаа тэлдэг тул түүний геометрийг гажуудуулахыг хүсэхгүй бол энгийн Евклидийн орон зайд хоёр хэмжээст гиперболын хавтгайг багтаах арга байхгүй. Гэхдээ Пуанкаре диск гэж нэрлэгддэг гиперболын хавтгайн гажуудсан дүрс байдаг.

Бидний үзэж байгаагаар хилийн тойргийн ойролцоох гурвалжин нь төвийн ойролцоох гурвалжингаас хамаагүй бага мэт боловч гипербол геометрийн үүднээс авч үзвэл бүх гурвалжин ижил байна. Хэрэв бид эдгээр гурвалжнуудыг яг ижил хэмжээтэй дүрслэхийг оролдвол - магадгүй уян хатан материал ашиглан гурвалжин бүрийг ээлжлэн хийснээр төвөөс гадагш хөдөлж байвал бидний диск өргөн хүрээтэй малгай шиг болж, улам бүр бөхийх болно. Хил рүү ойртох тусам энэ муруйлт хяналтаас гарах болно.

Энгийн Евклидийн геометрийн хувьд тойргийн тойрог нь түүний радиустай шууд пропорциональ байдаг бол гипербол геометрийн хувьд тойрог нь радиустай харьцуулахад экспоненциал өсдөг. Гиперболын дискний хилийн ойролцоо гурвалжингийн овоо үүсдэг

Энэ онцлогоосоо болоод математикчид гиперболын орон зайд амархан төөрдөг гэж хэлэх дуртай. Хэрэв таны найз ердийн Евклидийн орон зайд чамаас холдох юм бол тэр холдож эхэлнэ, гэхдээ таны харааны тойрог тийм ч хурдан ургадаггүй тул удаанаар хөдөлж эхэлнэ. Гиперболын орон зайд таны харааны тойрог экспоненциалаар өргөсдөг тул таны найз удахгүй хязгааргүй жижиг толбо болон багасах болно. Тиймээс, хэрэв та түүний замыг дагаагүй бол дараа нь түүнийг олох магадлал багатай.

Гипербол геометрийн хувьд ч гэсэн гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градусаас бага байдаг - жишээлбэл, Пуанкаре дискний мозайк дээрх зарим гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь ердөө 165 градус байна.

Тэдний талууд нь шууд бус мэт боловч энэ нь бид гипербол геометрийг гажуудуулах линзээр харж байгаатай холбоотой юм. Пуанкаре дискний оршин суугчдын хувьд эдгээр муруйнууд нь үнэн хэрэгтээ шулуун шугамууд тул А цэгээс В цэг хүртэл (хоёулангийнх нь ирмэг дээр) хүрэх хамгийн хурдан арга бол төв рүү зүсэх явдал юм.

Пуанкаре дискний гурван хэмжээст аналогийг хийх байгалийн арга байдаг - гурван хэмжээст бөмбөг аваад гурван хэмжээст дүрсээр дүүргэх нь Пуанкаре диск дээрх гурвалжин шиг хилийн бөмбөрцөгт ойртох тусам аажмаар багасдаг. Хавтгай ба бөмбөрцөгтэй адил бид гурван хэмжээст гиперболын бөмбөгний тохиромжтой хэсгүүдийг хайчилж, нүүрийг нь наах замаар бусад гурван хэмжээст гиперболын орон зайг бий болгож чадна.

За, манай орчлон ертөнц гипербол уу?

Нарийн гурвалжин, экспоненциал өсөн нэмэгдэж буй тойрог бүхий гипербол геометр нь бидний эргэн тойрон дахь орон зайтай огт адилгүй. Үнэн хэрэгтээ, бидний өмнө дурдсанчлан, сансар судлалын ихэнх хэмжилтүүд хавтгай ертөнц рүү чиглэдэг.

Гэхдээ бид бөмбөрцөг эсвэл гипербол ертөнцөд амьдардаг гэдгийг үгүйсгэх аргагүй, учир нь хоёр ертөнцийн жижиг хэсгүүд бараг тэгш харагддаг. Жишээлбэл, бөмбөрцөг геометрийн жижиг гурвалжнуудын өнцгийн нийлбэр нь 180 градусаас арай илүү, харин гипербол геометрийн хувьд арай бага байдаг.

Тийм ч учраас эртний хүмүүс дэлхийг хавтгай гэж боддог байсан - дэлхийн муруйлт нь нүцгэн нүдэнд харагдахгүй. Бөмбөрцөг эсвэл гипербол хэлбэр нь том байх тусам түүний хэсэг бүр хавтгай, тиймээс, хэрэв манай орчлон ертөнц маш том бөмбөрцөг эсвэл гипербол хэлбэртэй бол түүний харагдах хэсэг нь хавтгайтай маш ойрхон тул түүний муруйлтыг зөвхөн хэт нарийн багажаар илрүүлэх боломжтой. мөн бид тэдгээрийг хараахан зохион бүтээгээгүй байна. …